Calcule as integrais
integral0^1 integral0^1(x y raizx^2+y^2) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral0^1 x,y,raizx^2+y^2;dy;dx
O conteúdo é mudança de variável em integrais iteradas. Vamos primeiro fazer a integral interna em y tratando x como constante, usando substituição, e depois resolver a integral externa em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
integral0^1yraizx^2+y^2;dy
Faça u = x^2+y^2, então du = 2y,dy e y,dy = tfrac12du. Quando y=0, u=x^2; quando y=1, u=x^2+1. Logo,
integral0^1yraizx^2+y^2;dy =12integralx^2^,x^2+1u^tfrac12du =12cdot23l[u^tfrac32r]x^2^x^2+1 =13l[(x^2+1)^tfrac32-x^3r]

Passo 3

Substituindo na integral externa, temos
integral0^1x;l(tfrac13l[(x^2+1)^tfrac32-x^3r]r)dx =13integral0^1l(x(x^2+1)^tfrac32-x^4r)dx

Passo 4

Separe em duas integrais:
I1=integral0^1x,(x^2+1)^tfrac32dx, I2=integral0^1x^4dx

Passo 5

Calcule I1 por substituição t=x^2+1, dt=2x,dx:
I1 =12integralt=1^2t^tfrac32dt =12cdot25l[t^tfrac52r]1^2 =15l(2^tfrac52-1r)
E
I2=integral0^1x^4dx=15

Passo 6

Volte ao fator tfrac13:
13l(I1-I2r) =13l(15(2^tfrac52-1)-15r) =115l(2^tfrac52-2r)
Como 2^tfrac52=4raiz2, fica
115l(4raiz2-2r) =215l(2raiz2-1r)

Resposta

integral0^1integral0^1x,y,raizx^2+y^2,dy,dx =215l(2raiz2-1r)

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