Nos problemas a seguir, determine a integral usando frações parciais e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral 10(x-1)(x^2+9) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 10(x-1)(x^2+9),dx
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais e, em seguida, integração de cada parcela.

Passo 2

Fazemos a decomposição
10(x-1)(x^2+9) = Ax-1 + Bx + Cx^2 + 9
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+9) e igualando numeradores:
10 = A(x^2+9) + (Bx+C)(x-1)
Ao substituir x=1:
10 = A(1+9)implies A=1
Expandindo o lado direito:
A(x^2+9)+(Bx+C)(x-1) = x^2+9 + Bx^2 - Bx + Cx - C = (1+B)x^2 + (-B + C)x + (9 - C)
Comparando com 10 = 0cdot x^2 + 0cdot x + 10 obtemos
1 + B = 0, -B + C = 0, 9 - C = 10
que dá
B = -1, C = -1

Passo 3

Com A=1, B=-1 e C=-1, a integral vira
integral 10(x-1)(x^2+9),dx = integral 1x-1,dx + integral -x-1x^2+9,dx
Separamos em três primitiváveis:
integral 1x-1,dx, integral xx^2+9,dx, integral 1x^2+9,dx
Sabendo que
integral 1x-1,dx = lnlvert x-1rvert, integral xx^2+9,dx = tfrac12lnl(x^2+9r), integral 1x^2+9,dx = tfrac13arctan!l(tfracx3r),
temos
integral 10(x-1)(x^2+9),dx = lnlvert x-1rvert - 12lnl(x^2+9r) - 13arctan!l(tfracx3r) + C

Passo 4

Para verificar, derivamos
F(x)=lnlvert x-1rvert - tfrac12ln(x^2+9) - tfrac13arctan!l(tfracx3r)
Temos
F'(x) = 1x-1 - xx^2+9 - 1x^2+9 = 10(x-1)(x^2+9),
recuperando o integrando original e confirmando o resultado.

Resposta

lnlvert x-1rvert - 12lnl(x^2+9r) - 13arctan!l(tfracx3r) + C.

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