Calcule as integrais
integral0^2 integral0^pi r sen^2(theta) d theta d r.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^2integral0^pir,sin^2(theta),dtheta,dr
Aqui a integral se separa em uma parte só em theta e outra só em r, então vamos primeiro calcular a integral interna em theta e depois a externa em r.

Passo 2

Calculamos
integral0^pisin^2(theta),dtheta
Usamos a identidade sin^2theta=tfrac1-cos(2theta)2, logo
integral0^pisin^2(theta),dtheta =integral0^pi1-cos(2theta)2,dtheta =12l[theta-tfracsin(2theta)2r]0^pi =12l(pi-0r) =pi2

Passo 3

Agora calculamos a parte em r:
integral0^2r,dr =l[tfracr^22r]0^2 =42 =2

Passo 4

Como a integral original fatora, o valor final é
l(integral0^pisin^2(theta),dthetar)timesl(integral0^2r,drr) =pi2times 2 =pi

Resposta

pi

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