Calcule o volume do sólido limitado:
Por z=x^2+9 y^2 e z=18-x^2-9 y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica entre as superfícies
z = x^2 + 9y^2
e
z = 18 - x^2 - 9y^2
O conteúdo aqui é uso de integral dupla para volume:
V = integral duplaD l(ztopo - zfundor),dx,dy,
onde D é a projeção do sólido no plano xy.

Passo 2

Determinamos a região D encontrando a curva de interseção das duas superfícies, ou seja, resolvendo
x^2 + 9y^2 = 18 - x^2 - 9y^2
Isso leva a
2x^2 + 18y^2 = 18Longrightarrow x^2 + 9y^2 = 9
Logo, D é a elipse
x^29 + y^21 <= 1

Passo 3

O volume é
V = integral duplaDl[(18 - x^2 - 9y^2) - (x^2 + 9y^2)r],dx,dy = integral duplaDl[18 - 2(x^2 + 9y^2)r],dx,dy

Passo 4

Para simplificar, fazemos a mudança de variáveis
u = x, v = 3y,
de modo que x^2+9y^2 = u^2+v^2 e
dx,dy = 13,du,dv
A região D em (u,v) vira o círculo u^2+v^2<= 9.

Passo 5

Em coordenadas polares (u=rcostheta,;v=rsintheta), com 0<= r<= 3, 0<=theta<= 2pi, temos
du,dv = r,dr,dtheta e x^2+9y^2=r^2
Então
V = integral0^2pi!integral0^3 l[18 - 2r^2r]13,r,dr,dtheta

Passo 6

Calculamos a integral radial:
integral0^3 l[18r - 2r^3r],dr = [9r^2 - 12r^4]0^3 = 9cdot 9 - tfrac12cdot 81 = 81 - 40,5 = 40,5
Multiplicando pelos fatores externos,
V = 13cdot 2pi cdot 40,5 = 2picdot 13,5 = 27pi

Resposta

O volume do sólido é 27pi.

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