A série sumn=1^infty -4raizn(n+1) converge absolutamente? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a série
sumn=1^infty-4raizn(n+1)
e pede para verificar se ela converge absolutamente. Para isso, vamos considerar a série de termos não negativos
sumn=1^inftyl|-4raizn(n+1)r|
e testar a convergência por comparação.

Passo 2

Calculamos o valor absoluto do termo geral:
l|-4raizn(n+1)r| = 4raizn(n+1)
Logo, a série em questão para o teste absoluto é
sumn=1^infty4raizn(n+1)

Passo 3

Para investigar a convergência de
sumn=1^infty4raizn(n+1)
usamos o teste da comparação limite com a série harmônica sum1/n. Definimos
an = 4raizn(n+1), bn = 1n
e calculamos
limntoinftyanbn = limntoinfty4raizn(n+1)cdot n = limntoinfty4nraizn^2+n = limntoinfty4raiz1+tfrac1n =4

Passo 4

Como o limite é finito e não nulo ( 4in(0,infty)) e sabemos que
sumn=1^infty1n
é divergente, pelo critério de comparação limite conclui-se que
sumn=1^infty4raizn(n+1)
também diverge. Portanto a série original não converge absolutamente.

Resposta

Não, a série não converge absolutamente, pois
sumn=1^inftyl|tfrac-4raizn(n+1)r| =4sumn=1^infty1raizn(n+1)
diverge por comparação limite com a série harmônica.

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