Calcule as integrais
integral d xx raiz25 x^2-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral dxx raiz25 x^2 - 2
Aqui o conteúdo é integração por substituição, pois queremos eliminar a raiz de uma expressão quadrática.

Passo 2

Fazemos a troca
t = raiz25 x^2 - 2,
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dt = 25 x,dxt Longrightarrow dx = t,dt25 x
Substituindo na integral, onde raiz25x^2-2=t, temos
integral dxx,t = integral 1x,tcdott,dt25x = integral dt25,x^2

Passo 3

Da definição de t vem
t^2 = 25 x^2 - 2 Longrightarrow x^2 = t^2 + 225
Assim
integral dt25,x^2 = integral dt25;t^2+225 = integral dtt^2 + 2

Passo 4

Reconhecemos
integral dtt^2 + 2
como o caso integraldtt^2+a^2 com a^2=2, a=raiz2. Logo
integral dtt^2+2 = 1raiz2arctan!l(traiz2r) + C

Passo 5

Voltando a x pela relação t=raiz25 x^2 -2, concluímos
integral dxxraiz25 x^2 -2 = 1raiz2arctan!l(raiz25 x^2 -2raiz2r) + C

Resposta

1raiz2arctan!l(raiz25 x^2 -2raiz2r) + C

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