Considere a curva dada pela função vetorial r(t)=(e^t sen(t), e^t cos (t), raiz2 e^t).
(a) Encontre a função comprimento de arco desta curva a partir do ponto P=(0,1, raiz2) na direção que t cresce;
(b) Reparametrize a curva em relação ao comprimento de arco;

Passo 1

O enunciado dá a curva
vec r(t)=l(e^tsin t,;e^tcos t,;raiz2,e^tr)
e pede:
– (a) a função comprimento de arco s(t) medida a partir de P=(0,1,raiz2) na direção de t crescente;
– (b) reparametrizar a curva usando s como parâmetro.
Para (a) vamos usar a fórmula
s(t)=integralt0^tl|vec r'(u)r|,du
onde t0 é o parâmetro em que vec r(t0)=P.

Passo 2

Primeiro achamos t0. Como
vec r(0)=(e^0sin0,e^0cos0,raiz2,e^0)=(0,1,raiz2)=P, temos t0=0.
Agora calculamos vec r'(t):
vec r'(t) =l(e^t(sin t+cos t),;e^t(cos t-sin t),;raiz2,e^tr)
O quadrado da norma é
|vec r'(t)|^2 =e^2tl[(sin t+cos t)^2+(cos t-sin t)^2r]+2e^2t =2e^2t+2e^2t+2e^2t =4e^2t,
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|vec r'(t)|=2e^t

Passo 3

Integramos de 0 a t:
s(t) =integral0^t2e^u,du =2l[e^ur]0^t =2l(e^t-1r)

Passo 4

Invertemos s=2(e^t-1) para escrever t em função de s:
e^t=1+s2, t=ln!l(1+s2r)

Passo 5

Substituímos t=t(s) em vec r(t) para obter a reparametrização por comprimento de arco:
vec R(s) =vec r!l(t(s)r) =l(l(1+tfracs2r)sin!ln!l(1+tfracs2r),; l(1+tfracs2r)cos!ln!l(1+tfracs2r),; raiz2l(1+tfracs2r)r)

Resposta

(a) s(t)=2l(e^t-1r).
(b) vec R(s)=l(l(1+tfracs2r)sin!ln!l(1+tfracs2r),;l(1+tfracs2r)cos!ln!l(1+tfracs2r),;raiz2l(1+tfracs2r)r)

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