Calcule as integrais
integral e^x d x1+e^2 x

Passo 1

O enunciado nos pede o cálculo da integral indefinida
integral e^x1+e^2x ,dx
O conteúdo essencial aqui é integração por substituição, observando que a derivada de e^x é proporcional a e^x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x,
então
du = e^x,dx
Com isso, a integral em x vira uma integral em u:
integral e^x1+e^2x ,dx = integral du1+u^2

Passo 3

Reconhecemos que
integral du1+u^2 = arctan(u) + C

Passo 4

Voltando à variável original x, lembramos que u = e^x. Logo a antiderivada é
arctan(e^x) + C

Resposta

arctan(e^x) + C

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