Resolva os problemas de valor inicial:
d vd t=3t raizt^2-1, t>1, v(2)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
d vd t = 3traizt^2-1, t>1,
com condição inicial v(2)=0.
O conteúdo aqui é resolver uma EDO integrando ambos os lados em t, pois a equação já está na forma dvdt=g(t).

Passo 2

Integramos ambos os lados em t:
v(t)=integral dvdt,dt =integral 3traizt^2-1,dt + C

Passo 3

Para calcular o integral use a substituição
u=raizt^2-1 Longrightarrow du=traizt^2-1,dt Longrightarrow dt=ut,du
Então
integral 1traizt^2-1,dt =integral 1t,ucdot ut,du =integral 1t^2,du =integral 1u^2+1,du =arctan(u)+const

Passo 4

Voltando a t, u=raizt^2-1, obtemos
integral 3traizt^2-1,dt =3,arctanl(raizt^2-1r)+C
Logo
v(t)=3,arctan!l(raizt^2-1r)+C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial v(2)=0. Como raiz2^2-1=raiz3 e arctan(raiz3)=pi/3, temos
0=v(2)=3cdotpi3+C Longrightarrow C=-pi

Resposta

boxedv(t)=3,arctan!l(raizt^2-1r);-;pi

Exercícios relacionados