Calcule as integrais:
integral sen 2 xe^x d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral:
integral sin 2xe^x , dx
Aqui, temos a integração de uma função que é o produto de uma função trigonométrica ( sin 2x) e uma função exponencial ( e^-x). Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:
integral sin 2x cdot e^-x , dx
Agora, identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas: sin 2x e e^-x.

Passo 3

O método de integração por partes se baseia na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv. Uma boa escolha aqui é:
  • u = sin 2x (porque sua derivada será mais simples)
  • dv = e^-x , dx (porque sua integral também será simples)

Passo 4

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivada de u:
du = ddx(sin 2x) , dx = 2 cos 2x , dx
  • Integral de dv:
v = integral e^-x , dx = -e^-x

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sin 2x cdot e^-x , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= sin 2x cdot (-e^-x) - integral (-e^-x) cdot 2 cos 2x , dx
Simplificando:
= -sin 2x cdot e^-x + 2 integral e^-x cos 2x , dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a nova integral:
I = integral e^-x cos 2x , dx
Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral.

Passo 7

Escolhemos:
  • u = cos 2x
  • dv = e^-x , dx
Calculando du e v:
  • Derivada de u:
du = ddx(cos 2x) , dx = -2 sin 2x , dx
  • Integral de dv:
v = integral e^-x , dx = -e^-x

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
I = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores:
= cos 2x cdot (-e^-x) - integral (-e^-x) cdot (-2 sin 2x) , dx
Simplificando:
= -cos 2x cdot e^-x - 2 integral e^-x sin 2x , dx
Note que a integral resultante é a mesma que a integral original J = integral e^-x sin 2x , dx.

Passo 9

Vamos chamar a integral original de J:
J = integral e^-x sin 2x , dx
Substituindo na equação anterior:
I = -cos 2x cdot e^-x - 2J
Lembrando que anteriormente obtivemos:
-sin 2x cdot e^-x + 2I = J
Substituindo I na equação:
-sin 2x cdot e^-x + 2(-cos 2x cdot e^-x - 2J) = J
Simplificando:
-sin 2x cdot e^-x - 2cos 2x cdot e^-x - 4J = J
Juntando os termos:
5J = -e^-x (sin 2x + 2cos 2x)

Passo 10

Finalmente, isolamos J:
J = -e^-x (sin 2x + 2cos 2x)5 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
integral sin 2xe^x , dx = -e^-x (sin 2x + 2cos 2x)5 + C

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