Calcule as integrais:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral:
Aqui, temos a integração de uma função que é o produto de uma função trigonométrica (
) e uma função exponencial (
). Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:
Agora, identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas:
e
.
Passo 3
O método de integração por partes se baseia na fórmula:
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Uma boa escolha aqui é:
-
(porque sua derivada será mais simples) -
(porque sua integral também será simples)
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivada de
:
- Integral de
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a nova integral:
Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral.
Passo 7
Escolhemos:
Calculando
e
:
- Derivada de
:
- Integral de
:
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Note que a integral resultante é a mesma que a integral original
.
Passo 9
Vamos chamar a integral original de
:
Substituindo na equação anterior:
Lembrando que anteriormente obtivemos:
Substituindo
na equação:
Simplificando:
Juntando os termos:
Passo 10
Finalmente, isolamos
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a: