Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral x arcsin x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x arcsin x ,dx
usando a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos escolher partes adequadas para u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = arcsin x, dv = x,dx
Então
du = 1raiz1 - x^2,dx, v = integral x,dx = x^22

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, obtém-se
integral x arcsin x,dx = u,v - integral v,du = x^22,arcsin x - integral x^22,1raiz1 - x^2,dx
Isto é,
integral x arcsin x,dx = x^22,arcsin x - 12integral x^2raiz1 - x^2,dx

Passo 4

Para calcular
integral x^2raiz1 - x^2,dx,
escrevemos x^2 = 1 - (1 - x^2), de modo que
x^2raiz1 - x^2 = 1raiz1 - x^2 - 1 - x^2raiz1 - x^2 = 1raiz1 - x^2 - raiz1 - x^2
Logo
integral x^2raiz1 - x^2,dx = integral 1raiz1 - x^2,dx - integral raiz1 - x^2,dx

Passo 5

Sabemos que
integral 1raiz1 - x^2,dx = arcsin x
e que
integral raiz1 - x^2,dx = x2raiz1 - x^2 + 12arcsin x
Assim
integral x^2raiz1 - x^2,dx = arcsin x - l(x2raiz1 - x^2 + 12arcsin xr) = 12arcsin x - x2raiz1 - x^2

Passo 6

Substituindo de volta em
integral x arcsin x,dx = x^22,arcsin x - 12integral x^2raiz1 - x^2,dx,
temos
integral x arcsin x,dx = x^22,arcsin x - 12l(12arcsin x - x2raiz1 - x^2r) + C
Fazendo as contas:
integral x arcsin x,dx = x^22,arcsin x - 14arcsin x + x4raiz1 - x^2 + C
Agrupando termos de arcsin x:
integral x arcsin x,dx = 2x^2 - 14,arcsin x + x4raiz1 - x^2 + C

Resposta

integral x arcsin x,dx = 2x^2 - 14,arcsin x + x4raiz1 - x^2 + C

Exercícios relacionados