Calcule integral triplaE x z d V onde
E=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1, z >=-y+1 e z <=-y+2

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
integral triplaE x,z,dV
onde
E=(x,y,z)inR^3:0<= x<=1,;0<= y<=2,;0<= z<=1,;z>= -y+1,;z<= -y+2
O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada, identificar as projeções no plano yz e depois integrar.

Passo 2

Como a desigualdade em x é independente de y,z, podemos fatorar
integral0^1x,dx;times;integral duplaDz,dy,dz,
onde D é a região no plano yz dada por
0<= y<=2,;0<= z<=1,;1-y<= z<=2-y
Observe que, para yin[0,1], tem-se 1-y>=0 e 2-y>=1, então zin[,1-y,,1].
Para yin[1,2], tem-se 1-y<=0 e 2-y<=1, então zin[,0,,2-y].
Logo a integral em yz se separa em
I1=integraly=0^1integralz=1-y^1z,dz,dy, I2=integraly=1^2integralz=0^2-yz,dz,dy

Passo 3

Calcular I1:
I1=integral0^1l[z^22r]z=1-y^1,dy =integral0^1l(12-(1-y)^22r)dy =12integral0^1(2y-y^2),dy
Agora
integral0^1(2y-y^2),dy =l[y^2-y^33r]0^1 =1-tfrac13=tfrac23,
então
I1=12cdot23=13

Passo 4

Calcular I2:
I2=integral1^2l[z^22r]0^2-y,dy =12integral1^2(2-y)^2,dy =12integral1^2(y^2-4y+4),dy
Temos
integral1^2(y^2-4y+4),dy =l[y^33-2y^2+4yr]1^2 =(tfrac83-8+8)-(tfrac13-2+4)=tfrac13,
logo
I2=12cdot13=16

Passo 5

Juntando,
integral duplaDz,dy,dz=I1+I2=13+16=12,
e
integral0^1x,dx=l[x^22r]0^1=12
Portanto
integral triplaEx,z,dV =12cdot12 =14

Resposta

14

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