Calcule as integrais
integral raizcotg y cossec 2 y d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raizcot y,csc 2y ,dy
O conteúdo principal é integração de expressões trigonométricas: vamos usar as definições cot y=dfraccos ysin y e csc 2y=dfrac1sin2y e depois aplicar uma substituição conveniente.

Passo 2

Expressando tudo em termos de seno e cosseno:
raizcot y,csc 2y =raizcos ysin y;1sin2y =raizcos yraizsin y;12sin y,cos y =12,sin^-3/2y,cos^-1/2y

Passo 3

Para simplificar
integral tfrac12,sin^-3/2y,cos^-1/2y,dy, fazemos a substituição
u = raiztan y, u^2=tan y Longrightarrow 2u,du = sec^2y,dy e dy = 2ucos^2y,du
Substituindo e organizando as potências de sin y e cos y, obtém-se
integral u^-2,du

Passo 4

A integral em u é direta:
integral u^-2,du = -,u^-1 + C

Passo 5

Voltando a y, temos u^-1=1/raiztan y=raizcot y. Logo a primitiva fica
-,u^-1+C = -raizcot y+C

Resposta

-raizcot y+C

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