Encontre a fração geratriz da dízima periódica:
1,272727ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício onde a gente precisa encontrar a fração que representa a dízima periódica 1,272727ldots. Esse tipo de problema está na matéria de números reais, mais especificamente sobre frações e decimais periódicos. Para resolver, vamos precisar usar um método que transforma esse número decimal repetitivo em uma fração.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o número que queremos encontrar a fração de x . Então, temos:
x = 1,272727ldots

Passo 3

Observa que a parte que se repete é “27”, que tem 2 dígitos. Para eliminar essa repetição, vamos multiplicar x por 100 (pois são 2 dígitos repetidos). Assim:
100x = 127,272727ldots

Passo 4

Agora, temos duas equações:
  1. x = 1,272727ldots
  2. 100x = 127,272727ldots
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a parte decimal:
100x - x = 127,272727ldots - 1,272727ldots
99x = 126

Passo 5

Para encontrar x , dividimos ambos os lados da equação por 99:
x = 12699

Passo 6

Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador pelo maior divisor comum, que é 9:
x = 126 div 999 div 9 = 1411

Resposta

A fração geratriz da dízima periódica 1,272727ldots é 1411.

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