Prove que a função f(x)=a x+b é contínua no ponto x=x0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função afim f(x)=a x + b é contínua no ponto x0. Isso significa usar a definição de continuidade via aproximação de limites (critérios epsilon de<a): dado varepsilon>0, encontrar de<a>0 tal que sempre que lvert x - x0rvert < de<a então lvert f(x) - f(x0)rvert < varepsilon.

Passo 2

Recordando a definição de continuidade no ponto x0:
f é contínua em x0Long<=ftrightarrowforall varepsilon>0;exists de<a>0;tal que;|x-x0|<de<a;Longrightarrow;|f(x)-f(x0)|<varepsilonéí

Passo 3

Calculemos a diferença entre f(x) e f(x0):
f(x)-f(x0) = (a x + b) - l(a x0 + br) = a,(x - x0)
Tomando valor absoluto,
|f(x)-f(x0)| = |a|,|x - x0|

Passo 4

Agora tratamos dois casos:
1. Se a = 0, então f(x)=b é constante e
|f(x)-f(x0)|=0<varepsilon
para qualquer varepsilon>0. Basta escolher qualquer de<a>0. Logo f é contínua.
2. Se aneq0, definimos
de<a = varepsilon|a|
Então, sempre que |x-x0|<de<a, temos
|f(x)-f(x0)| = |a|,|x - x0| < |a|;varepsilon|a| = varepsilon
Isso satisfaz a condição de continuidade.

Resposta

A função f(x)=a x+b é contínua em x0, pois em ambos os casos ( a=0 ou aneq0) conseguimos, dado varepsilon>0, encontrar de<a>0 que garante |f(x)-f(x0)|<varepsilon sempre que |x-x0|<de<a.

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