Encontre a fração geratriz da dízima periódica:
0,3777ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a fração que representa a dízima periódica 0,3777ldots. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Frações e Decimais na matemática. Para resolver, a gente vai usar alguns truques de álgebra para transformar o número decimal em uma fração.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o número decimal de x. Assim, temos:
x = 0,3777ldots
Isso significa que x é igual a 0,3777 repetindo infinitamente.

Passo 3

Agora, queremos eliminar a parte que está se repetindo. Como o número que está se repetindo é apenas o 7, que aparece depois da casa decimal das dezenas, vamos multiplicar x por 10 para “mover” a vírgula uma casa para a direita:
10x = 3,777ldots
Agora, temos 10x = 3,777ldots.

Passo 4

Em seguida, vamos subtrair a equação original ( x = 0,3777ldots) dessa nova equação ( 10x = 3,777ldots) para eliminar a parte decimal que se repete:
10x - x = 3,777ldots - 0,3777ldots
Isso simplifica para:
9x = 3,4

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de x, basta dividir ambos os lados da equação por 9:
x = 3,49
Para facilitar, podemos eliminar a vírgula multiplicando numerador e denominador por 10:
x = 3490

Passo 6

Por fim, vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu maior divisor comum, que é 2:
x = 1745

Resposta

A fração geratriz da dízima periódica 0,3777ldots é 1745.

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