Calcule as integrais:
integral 4 d tt(1+ln ^2 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de 4, dtt(1+ln^2 t) . Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, com integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Olhando para o denominador, temos ln t . Vamos fazer uma substituição onde u = ln t .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a t para substituir dt na integral.
du = ddt (ln t) , dt = 1t , dt
Isso significa que dtt = du .

Passo 4

Vamos substituir u e du na integral original:
integral 4, dtt(1+ln^2 t) = 4 integral du1 + u^2
Agora, a integral ficou muito mais simples: 4 integral du1 + u^2 .

Passo 5

Reconhecemos que integral du1 + u^2 é uma integral padrão cujo resultado é arctan u + C , onde C é a constante de integração.
Então, temos:
4 integral du1 + u^2 = 4 arctan u + C

Passo 6

Agora, substituímos u de volta para ln t :
4 arctan u + C = 4 arctan (ln t) + C

Resposta

A integral é igual a 4, arctan(ln t) + C , onde C é a constante de integração.

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