Determine d y / d x
y=integral1^x^1 / 3 e^t^3+1 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a derivada de y em relação a x , onde y é definido pela integral
y = integral1^x^1/3 e^t^3+1 , dt
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas, mais especificamente aplicando a regra de diferenciação sob o sinal de integral. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar uma integral definida cujo limite superior é uma função de x . Se tivermos
y = integrala^u(x) f(t) , dt,
então a derivada dydx é
dydx = f(u(x)) cdot dudx
No nosso caso, a = 1 (constante) e u(x) = x^1/3 .

Passo 3

Aplicando o teorema, identificamos f(t) = e^t^3+1 e u(x) = x^1/3 . A derivada de u(x) em relação a x é
dudx = ddx ( x^1/3 ) = 13 x^-2/3

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da derivada:
dydx = f(u(x)) cdot dudx = e^(x^1/3)^3 + 1 cdot 13 x^-2/3
Simplificando (x^1/3)^3 , temos x , então:
dydx = e^x + 1 cdot 13 x^-2/3

Resposta

A derivada dydx é
dydx = 13 , x^-23 , e^x + 1

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