Seja g(x)=integralraizx^s x+1 h(s) d s, x>0 e h(s) contínua. Determine g^prime(x) em termos de h(x).

Passo 1

O enunciado define
g(x)=integralraizx^x+1h(s),ds, x>0,
com h contínua. O que precisamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limites que dependem de x, junto com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo estendido, se
g(x)=integrala(x)^b(x)h(s),ds,
então
g'(x)=hl(b(x)r),b'(x);-;hl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Aqui temos a(x)=raizx e b(x)=x+1. Calculamos suas derivadas:
a'(x)=ddxraizx=12raizx, b'(x)=ddx(x+1)=1

Passo 4

Substituindo em
g'(x)=h(b(x)),b'(x)-h(a(x)),a'(x),
vem
g'(x)=h(x+1)cdot1;-;h(raizx)cdot12raizx = h(x+1);-;h(raizx)2raizx

Resposta

g'(x)=h(x+1)-h(raizx)2raizx

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