Determine o domínio de mathbfr(t) e o valor de mathbfr(t0).
r(t)=lang<= 2 e^-t, arcsen t, ln (1-t)rang<= ; t0=0

Passo 1

O enunciado pede o domínio de r(t) e o cálculo de r(t0) com
r(t)=llang<= 2e^-t,,arcsen(t),,lnl(1-tr)rrang<= e t0=0
O conteúdo envolve determinar onde cada componente está bem definida e, em seguida, avaliar o vetor em t=0.

Passo 2

Analisamos a existência de cada componente:
2e^-t é definida para todo tinR.
arcsen(t) exige -1<= t<=1.
ln(1-t) exige 1-t>0, ou seja, t<1.

Passo 3

O domínio de r(t) é a interseção dessas condições:
-1 <= t <= 1 e t<1 Longrightarrow tin[-1,1)

Passo 4

Para calcular r(t0) com t0=0, substituímos t=0 em cada componente:
2e^-0=2, arcsen(0)=0, ln(1-0)=ln(1)=0
Logo,
r(0)=lang<= 2,,0,,0rang<=

Resposta

Domínio: [-1,1)
r(t0)=r(0)=lang<= 2,,0,,0rang<=.

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