Calcule as integrais:
integral(3 x ln (x)+x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integrall(3xln(x)+xr),dx
Vamos usar a linearidade da integral, integração por partes para o termo com ln(x) e a integral de potência para o termo x.

Passo 2

Separamos a integral em duas:
integrall(3xln(x)+xr),dx = integral 3xln(x),dx + integral x,dx

Passo 3

Para calcular integral 3xln(x),dx, fatoramos o 3 e aplicamos integração por partes em integral xln(x),dx. Tomamos
u = ln(x), dv = x,dx,
de modo que
du = 1x,dx, v = x^22
Logo,
integral xln(x),dx = u,v - integral v,du = x^22ln(x) - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln(x) - 12integral x,dx
Como integral x,dx = tfracx^22, temos
integral xln(x),dx = x^22ln(x) - 12cdotx^22 = x^22ln(x) - x^24
Multiplicando por 3:
integral 3xln(x),dx = 3l(x^22ln(x) - x^24r) = 3x^22ln(x) - 3x^24

Passo 4

A outra integral é imediata:
integral x,dx = x^22

Passo 5

Somando os resultados:
integrall(3xln(x)+xr),dx = l(3x^22ln(x) - 3x^24r) + x^22 = 3x^22ln(x) + l(-34+12r)x^2 = 3x^22ln(x) - x^24 + C

Resposta

32x^2ln(x) - 14x^2 + C

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