Mostre que a EDO é homogênea e encontre a solução.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que a EDO
é homogênea e, em seguida, achar a solução geral.
Conteúdo: equações diferenciais homogêneas de 1ª ordem.
O que vamos usar:
Conteúdo: equações diferenciais homogêneas de 1ª ordem.
O que vamos usar:
- Teste de homogeneidade em
e . - Substituição
(ou ). - Redução a uma EDO separável e integração.
Passo 2
Primeiro, teste de homogeneidade:
–
–
Como ambos escalam com , a equação é homogênea de grau 2.
–
–
Como ambos escalam com
Passo 3
Transformamos pra forma
. Dividindo tudo por
:
Agora fazemos a troca
, então
e
Passo 4
Substituindo na EDO:
Isso é separável:
Integramos dos dois lados:
Passo 5
Voltando a
:
Então a relação fica
Resposta
A solução geral (implícita) é