Mostre que a EDO é homogênea e encontre a solução.
(x^2+3 x y+y^2) d x-x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que a EDO
(x^2+3xy+y^2),dx - x^2,dy = 0
é homogênea e, em seguida, achar a solução geral.
Conteúdo: equações diferenciais homogêneas de 1ª ordem.
O que vamos usar:
  1. Teste de homogeneidade em M(x,y)=x^2+3xy+y^2 e N(x,y)=-x^2.
  2. Substituição y=vx (ou v=y/x).
  3. Redução a uma EDO separável e integração.

Passo 2

Primeiro, teste de homogeneidade:
M(tx,ty)=(tx)^2+3(tx)(ty)+(ty)^2 = t^2(x^2+3xy+y^2)=t^2M(x,y)
N(tx,ty)=-(tx)^2 = t^2(-x^2)=t^2N(x,y)
Como ambos escalam com t^2, a equação é homogênea de grau 2.

Passo 3

Transformamos pra forma dy/dx. Dividindo tudo por dx:
x^2+3xy+y^2 ;-; x^2dydx ;=;0 Longrightarrow dydx = x^2+3xy+y^2x^2 = 1 + 3yx + l(yxr)^2
Agora fazemos a troca v=yx, então y=vx e
dydx = v + xdvdx

Passo 4

Substituindo na EDO:
v + xdvdx = 1 + 3v + v^2 Longrightarrow xdvdx = 1 + 2v + v^2 = (v+1)^2
Isso é separável:
dv(v+1)^2 = dxx
Integramos dos dois lados:
integral dv(v+1)^2 = integral dxx ;Longrightarrow; -,1v+1 = ln|x| + C

Passo 5

Voltando a y:
v+1 = yx + 1 = x+yx ;Longrightarrow; -1v+1 = -xx+y
Então a relação fica
-xx+y = ln|x| + C Longrightarrow xx+y + ln|x| = C'

Resposta

A solução geral (implícita) é
boxed,ln|x| ;+;x,x + y, ;=; C,

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