Calcule as integrais:
integral tan ^3 2 x sec 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^3(2x),sec(2x),dx
O conteúdo envolvido é manipulação de identidades trigonométricas (usar tan^2theta=sec^2theta-1) e depois método de substituição simples.

Passo 2

Reescrevemos tan^3(2x) como tan^2(2x),tan(2x) e aplicamos a identidade
tan^2(2x)=sec^2(2x)-1
Assim a integral vira
integral l(sec^2(2x)-1r),tan(2x),sec(2x),dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u=sec(2x), du=2,sec(2x)tan(2x),dx Longrightarrow sec(2x)tan(2x),dx=12,du
Então
integral l(sec^2(2x)-1r),tan(2x),sec(2x),dx =12integral l(u^2-1r),du

Passo 4

Agora integramos em u:
12integral l(u^2-1r),du =12l(u^33-ur)+C =u^36-u2+C

Passo 5

Voltando a x com u=sec(2x), obtemos
sec^3(2x)6-sec(2x)2+C

Resposta

boxedintegral tan^3(2x),sec(2x),dx =sec^3(2x)6-sec(2x)2+C

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