Resolva as seguintes EDO expressadas em termos do operador derivação D :
(D+i)(D-i)(D-5)^2 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea linear de ordem 4 com coeficientes constantes
(D + i)(D - i)(D - 5)^2y(t)=0
O conteúdo usado é o de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver vamos associar cada fator em D a um fator do polinômio característico, achar as raízes (e suas multiplicidades) e, a partir delas, montar a solução geral.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo o operador D pela variável r:
(r + i),(r - i),(r - 5)^2 = 0
Isso porque cada fator (D - alpha) corresponde a uma raiz r=alpha.

Passo 3

Identificamos as raízes e suas multiplicidades:
r1=-,i, multiplicidade 1,
r2=+,i, multiplicidade 1,
r3=5, multiplicidade 2.

Passo 4

A solução geral de uma EDO com raízes simples r1,r2 e raiz dupla r3 é
y(t)=C1e^r1t+C2e^r2t+C3e^r3t+C4,t,e^r3t
Substituindo nossas raízes:
y(t)=C1e^-,i t+C2e^,i t+C3e^5t+C4,t,e^5t

Passo 5

Como a EDO tem coeficientes reais, os termos complexos podem ser combinados em funções reais usando
C1e^-i t+C2e^i t=Acos t+Bsin t
Logo, uma forma real equivalente é
y(t)=Acos t+Bsin t+l(C+D,tr)e^5t,
onde A,B,C,D são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

boxedy(t)=Acos t+Bsin t+l(C+D,tr)e^5t,
com A,B,C,D constantes.

Exercícios relacionados