Resolva as seguintes EDO expressadas em termos do operador derivação
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO homogênea linear de ordem 4 com coeficientes constantes
O conteúdo usado é o de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver vamos associar cada fator em
a um fator do polinômio característico, achar as raízes (e suas multiplicidades) e, a partir delas, montar a solução geral.
Passo 2
Formamos o polinômio característico substituindo o operador
pela variável
:
Isso porque cada fator
corresponde a uma raiz
.
Passo 3
Identificamos as raízes e suas multiplicidades:
– , multiplicidade 1,
– , multiplicidade 1,
– , multiplicidade 2.
–
–
–
Passo 4
A solução geral de uma EDO com raízes simples
e raiz dupla
é
Substituindo nossas raízes:
Passo 5
Como a EDO tem coeficientes reais, os termos complexos podem ser combinados em funções reais usando
Logo, uma forma real equivalente é
onde
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
com
constantes.