Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
y^(5)(t)-10 y^(4)(t)+40 y^prime prime prime(t)-80 y^prime prime(t)+80 y^prime(t)-32 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de quinta ordem
y^(5)(t)-10,y^(4)(t)+40,y^primeprimeprime(t)-80,y^primeprime(t)+80,y^prime(t)-32,y(t)=0
Como é uma equação linear com coeficientes constantes, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado:
r^5 -10r^4 +40r^3 -80r^2 +80r -32 =0

Passo 3

Testamos r=2:
2^5 -10cdot2^4 +40cdot2^3 -80cdot2^2 +80cdot2 -32 =32 -160 +320 -320 +160 -32 =0,
logo r=2 é raiz. Dividindo o polinômio por (r-2) via divisão sintética, o quociente é
r^4 -8r^3 +24r^2 -32r +16

Passo 4

Repetindo o teste de r=2 nesse quociente vemos novamente raiz nula, e após mais duas divisões sintéticas chegamos em
r^2 -4r +4 = (r-2)^2
Portanto o polinômio original se fatoriza como
(r-2),l(r^4 -8r^3 +24r^2 -32r +16r) =(r-2)^5,
ou seja, r=2 é raiz de multiplicidade 5.

Passo 5

Para raiz múltipla de multiplicidade 5 temos cinco soluções linearmente independentes:
e^2t, t,e^2t, t^2 e^2t, t^3 e^2t, t^4 e^2t
Logo a solução geral é
y(t) = l(C1 + C2,t + C3,t^2 + C4,t^3 + C5,t^4r),e^2t

Resposta

y(t) = l(C1 + C2,t + C3,t^2 + C4,t^3 + C5,t^4r),e^2t

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