Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
y^(4)(t)-4 y^prime prime prime(t)+6 y^prime prime(t)-4 y^prime(t)+y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear homogênea de quarta ordem
y^(4)(t)-4,y^primeprimeprime(t)+6,y^primeprime(t)-4,y^prime(t)+y(t)=0
O conteúdo é EDO de coeficientes constantes: vamos formar o polinômio característico e fatorá-lo.

Passo 2

Associamos à EDO o polinômio característico substituindo y^(k) por r^k:
r^4 - 4r^3 + 6r^2 - 4r + 1 = 0

Passo 3

Reconhecendo que os coeficientes seguem o padrão do binômio de Newton, temos
r^4 - 4r^3 + 6r^2 - 4r + 1 = (r-1)^4

Passo 4

Da fatoração obtemos uma única raiz
r = 1
com multiplicidade 4.

Passo 5

Quando uma raiz r0 de multiplicidade m aparece, a contribuição à solução geral é
e^r0 tl(C1 + C2 t + cdots + Cm t^m-1r)
Aqui r0=1 e m=4, logo
y(t) = l(C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 t^3r)e^t

Resposta

y(t) = l(C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 t^3r)e^t

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