Calcule as integrais:
integral tan ^5 xsec ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^5xsec^4x,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas usando identidades entre tan x, sec x, sin x e cos x e aplicação de substituição.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o integrando em termos de sin e cos:
tan^5xsec^4x = tan^5xcdotcos^4x = sin^5xcos^5x,cos^4x = sin^5xcos x
Como sin^5x=sin^4xsin x=(1-cos^2x)^2sin x, temos
sin^5xcos x = (1-cos^2x)^2,sin xcos x

Passo 3

Usamos a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx ;Longrightarrow; sin x,dx = -du
Então a integral fica
integral (1-cos^2x)^2,sin xcos x,dx = integral (1-u^2)^2u,(-du) = -integral (1-u^2)^2u,du

Passo 4

Expandimos (1-u^2)^2:
(1-u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4,
logo
-(1-u^2)^2u = -l(u^-1 - 2u + u^3r)
Assim
-integral (1-u^2)^2u,du = -integrall(u^-1 - 2u + u^3r),du = -integral u^-1du +2integral u,du - integral u^3du

Passo 5

Calculamos cada primitiva:
-integral u^-1du = -ln|u|, 2integral u,du = u^2, integral u^3du = u^44
Somando,
-ln|u| + u^2 - u^44 + C

Passo 6

Voltando a x com u=cos x, obtemos
-ln|cos x| + cos^2x - cos^4x4 + C

Resposta

integral tan^5xsec^4x,dx = -ln|cos x| + cos^2x - cos^4x4 + C

Exercícios relacionados