Encontre a solução das seguintes EDO não homogêneas
y^prime prime(t)+y^prime(t)-6 y(t)=e^t sin t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y''(t) + y'(t) - 6,y(t) ;=; e^t,sin t
O conteúdo aqui é EDO linear com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois aplicar o método dos coeficientes a determinar para obter uma particular.

Passo 2

Estudamos a parte homogênea
y'' + y' - 6y = 0
A equação característica é
r^2 + r - 6 = 0,
cuja solução é
r = -1 pm raiz1 + 242 = 2,;-3
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t

Passo 3

Para a parte particular yp, o termo não homogêneo é e^tsin t. Isso sugere a ansatz
yp(t) = e^tl(Acos t + Bsin tr),
pois não há ressonância (os expoentes 1pm i não são raízes da característica).

Passo 4

Defina u(t)=Acos t + Bsin t. Então
yp = e^t u, yp' = e^tl(u + u'r), yp'' = e^tl(u + 2u' + u''r)

Passo 5

Substituindo em y''+y'-6y temos
yp'' + yp' - 6yp = e^tl(u + 2u' + u'' + u + u' -6ur) = e^tl(u'' + 3u' -4ur)
Exigimos
e^tl(u'' + 3u' -4ur) = e^tsin t Longrightarrow u'' + 3u' -4u = sin t

Passo 6

Calcule
Então
Para igualar a , impomos o sistema
Da primeira equação . Substituindo na segunda:

Passo 7

Assim a solução particular é
yp(t) = e^tl(-tfrac334cos t ;-;tfrac534sin tr) = -e^t34l(3cos t +5sin tr)
Logo a solução geral da EDO é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t ;-;e^t34l(3cos t +5sin tr)

Resposta

y(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t ;-;e^t34l(3cos t +5sin tr)

Exercícios relacionados