Resolva as seguintes EDO expressadas em termos do operador derivação D :
(D^5+18 D^3+81 D) y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes dada em termos do operador D=ddt:
l(D^5+18,D^3+81,Dr)y(t)=0
O conteúdo é o método do polinômio característico para EDOs com coeficientes constantes.

Passo 2

Substituímos D por uma variável r para obter o polinômio característico associado à EDO:
r^5+18,r^3+81,r=0

Passo 3

Fatoramos o polinômio característico:
r^5+18,r^3+81,r = rl(r^4+18,r^2+81r)

Passo 4

Reconhecemos que r^4+18,r^2+81 é um quadrado perfeito em r^2:
r^4+18,r^2+81 = (r^2+9)^2
Logo a fatoração completa é
r,(r^2+9)^2=0

Passo 5

Das raízes temos:
  • r=0 de multiplicidade 1,
  • r^2=-9 (ou seja, r=pm 3i) de multiplicidade 2.
Para a raiz simples r=0 vem a solução e^0t=1.
Para o par complexo duplo r=pm 3i o bloco de soluções é
cos(3t), sin(3t) (para a primeira ocorrência) e
tcos(3t), tsin(3t) (para a repetição).

Passo 6

Combinando tudo, a solução geral é
y(t) = C1 + C2cos(3t) + C3sin(3t) + C4,tcos(3t) + C5,tsin(3t),
onde C1,C2,C3,C4,C5 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C1 + C2cos(3t) + C3sin(3t) + C4,tcos(3t) + C5,tsin(3t)

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