Resolva as seguintes EDO expressadas em termos do operador derivação
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes dada em termos do operador
:
O conteúdo é o método do polinômio característico para EDOs com coeficientes constantes.
Passo 2
Substituímos
por uma variável
para obter o polinômio característico associado à EDO:
Passo 3
Fatoramos o polinômio característico:
Passo 4
Reconhecemos que
é um quadrado perfeito em
:
Logo a fatoração completa é
Passo 5
Das raízes temos:
-
de multiplicidade 1, -
(ou seja, ) de multiplicidade 2.
Para a raiz simples
vem a solução
.
Para o par complexo duplo o bloco de soluções é
,
(para a primeira ocorrência) e
,
(para a repetição).
Para o par complexo duplo
Passo 6
Combinando tudo, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.