Encontre os limites das funções abaixo ou, caso não exista, justifique.
lim x 3 raiz2 x-3-raiz3x-3

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto3 raiz2x-3-raiz3x-3
Estamos diante de um caso de indeterminação do tipo tfrac00, e a técnica apropriada é a racionalização do numerador usando o conjugado.

Passo 2

Verificamos a indeterminação por substituição direta:
raiz2cdot3-3-raiz3 = raiz3-raiz3=0 e 3-3=0, logo é tfrac00.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, raiz2x-3+raiz3:
raiz2x-3-raiz3x-3 cdot raiz2x-3+raiz3raiz2x-3+raiz3 = (raiz2x-3)^2-(raiz3)^2(x-3),(raiz2x-3+raiz3)

Passo 4

No numerador aplica-se diferença de quadrados e no fator resultante fatoramos x-3:
(raiz2x-3)^2-(raiz3)^2 = (2x-3)-3 = 2x-6 = 2(x-3)
Assim
2(x-3)(x-3),(raiz2x-3+raiz3) = 2raiz2x-3+raiz3

Passo 5

Agora podemos tomar o limite sem indeterminação, substituindo xto3:
limxto3 2raiz2x-3+raiz3 = 2raiz2cdot3-3+raiz3 = 2raiz3+raiz3 = 22raiz3 = 1raiz3

Resposta

1raiz3

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