Calcule as integrais:
integral tan ^6 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida integral tan^6 x , dx. Neste tipo de integral de potência de tangente, vamos usar a identidade tan^2 x = sec^2 x -1 para separar um fator sec^2 x que permite uma substituição, e depois recorrer à redução de potências.

Passo 2

Escrevendo
tan^6 x = tan^4 x ,tan^2 x = tan^4 x,(sec^2 x -1)
temos
integral tan^6 x , dx = integral tan^4 x sec^2 x , dx ;-;integral tan^4 x , dx

Passo 3

Para integral tan^4 x sec^2 x , dx, fazemos a troca de variável
u = tan x, du = sec^2 x , dx
Isso leva a
integral tan^4 x sec^2 x , dx = integral u^4 , du = u^55 = tan^5 x5

Passo 4

Agora precisamos de integral tan^4 x , dx. Note que
tan^4 x = (tan^2 x)^2 = (sec^2 x -1)^2 = sec^4 x ;-;2sec^2 x;+;1
Então
integral tan^4 x , dx = integral (sec^4 x -2sec^2 x +1), dx
Para integral sec^4 x,dx usamos t=tan x, dt=sec^2 x,dx, obtendo
integral (1+t^2),dt = t + tfract^33 = tan x + tfractan^3 x3
Além disso
integral -2sec^2 x,dx = -2tan x
e
integral 1,dx = x
Somando tudo,
integral tan^4 x , dx = tan^3 x3 ;-;tan x;+;x

Passo 5

Juntando os resultados dos dois termos, concluímos
integral tan^6 x , dx = tan^5 x5 - l(tan^3 x3 - tan x + xr) + C = tan^5 x5 - tan^3 x3 + tan x - x + C

Resposta

tan^5 x5 - tan^3 x3 + tan x - x + C

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