Encontre os limites das funções abaixo ou, caso não exista, justifique.
lim x 4 raizx+6-raiz10raizx+2-raiz6

Passo 1

O enunciado pede
limxto4raizx+6-raiz10raizx+2-raiz6,
que ao substituir x=4 tfrac00, forma indeterminada. Para resolver, vamos usar o truque dos conjugados (diferença de quadrados) e eliminar as raízes que geram essa indeterminação.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador simultaneamente pelos dois conjugados l(raizx+6+raiz10r) e l(raizx+2+raiz6r). Assim,
raizx+6-raiz10raizx+2-raiz6 =(raizx+6-raiz10)(raizx+6+raiz10)(raizx+2+raiz6) (raizx+2-raiz6)(raizx+2+raiz6)(raizx+6+raiz10)
Agora cada par de conjugados gera diferença de quadrados:
(raizx+6-raiz10)(raizx+6+raiz10)=x+6-10=x-4,
(raizx+2-raiz6)(raizx+2+raiz6)=x+2-6=x-4
Logo a expressão fica
(x-4),(raizx+2+raiz6)(x-4),(raizx+6+raiz10)
Cancelamos o fator (x-4)neq0 para xneq4, obtendo
raizx+2+raiz6raizx+6+raiz10

Passo 3

Como a expressão simplificada é contínua em x=4, basta substituir:
limxto4raizx+2+raiz6raizx+6+raiz10 =raiz4+2+raiz6raiz4+6+raiz10 =raiz6+raiz6raiz10+raiz10 =2raiz62raiz10 =raiz6raiz10 =raiz610 =raiz35

Resposta

limxto4raizx+6-raiz10raizx+2-raiz6 =raiz35

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