Calcule as integrais:
integral-2^1 x(x^2-4) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de -2 a 1 da função x(x^2 - 4) em relação a x. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre como integrar funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras básicas de integração, como a regra de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Vamos multiplicar o x pela expressão x^2 - 4:
x(x^2 - 4) = x^3 - 4x
Agora, nossa integral fica:
integral-2^1 (x^3 - 4x) , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar termo por termo. A integração de uma soma é a soma das integrais. Vamos lembrar que a integral de x^n em relação a x é x^n+1n+1, onde n neq -1.
Então, vamos integrar x^3 e -4x separadamente:
integral x^3 , dx = x^44
integral -4x , dx = -4 cdot x^22 = -2x^2

Passo 4

Agora, juntando as integrais que calculamos:
integral (x^3 - 4x) , dx = x^44 - 2x^2 + C
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de -2 a 1.

Passo 5

Vamos substituir os limites na antiderivada:
Para x = 1:
1^44 - 2(1)^2 = 14 - 2 = 14 - 84 = -74
Para x = -2:
(-2)^44 - 2(-2)^2 = 164 - 2(4) = 4 - 8 = -4

Passo 6

Agora, subtraímos o valor da antiderivada em x = -2 do valor em x = 1:
-74 - (-4) = -74 + 4 = -74 + 164 = 94

Resposta

A integral integral-2^1 x(x^2-4) dx é igual a 94.

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