Calcule as integrais:
integral1^4 12-zraizz d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^4 12 - zraizz,dz
Aqui vamos usar a linearidade da integral e a regra de potência, isto é,
integral z^n,dz = z^n+1n+1 para nneq -1.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em potências de z, temos
12 - zraizz =12,z^-tfrac12-z^tfrac12
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integral1^412 - zraizz,dz =integral1^412,z^-tfrac12,dz -integral1^4z^tfrac12,dz

Passo 3

Calculamos as antiderivadas termo a termo:
  • Para integral12,z^-tfrac12,dz, use n=-tfrac12, então
integral12,z^-tfrac12,dz =12cdotz^-tfrac12+1-tfrac12+1 =12cdotz^tfrac12tfrac12 =24,z^tfrac12
  • Para integral z^tfrac12,dz, use n=tfrac12, então
integral z^tfrac12,dz =z^tfrac12+1tfrac12+1 =z^tfrac32tfrac32 =23,z^tfrac32
Portanto, uma primitiva é
F(z)=24,z^tfrac12-23,z^tfrac32

Passo 4

Agora avaliamos de 1 a 4:
F(4)=24cdot2-23cdot8=48-163=144-163=1283,
F(1)=24cdot1-23cdot1=24-23=72-23=703
A diferença é
integral1^412 - zraizz,dz =F(4)-F(1) =1283-703 =583

Resposta

583

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