Utilize o critério da 2^a derivada (quando aplicável) para determinar os extremos relativos de cada função a seguir.
f(x)=x+4raizx

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de
f(x)=x+4raizx,
no domínio x>0, usando o critério da segunda derivada quando aplicável. Vamos calcular f'(x) para achar os pontos críticos e depois usar f''(x) para classificar esses pontos.

Passo 2

Reescrevendo f(x) em potências de x:
f(x) = (x+4)x^-1/2 = x^1/2 + 4x^-1/2
Diferenciando:
f'(x) = 12x^-1/2 - 2x^-3/2 = x-42x^3/2
O numerador anula-se quando x-4=0, ou seja, x=4. Logo, x=4 é o único ponto crítico em x>0.

Passo 3

Calculamos f''(x) para aplicar o teste da segunda derivada. A partir de
f'(x)=x-42x^3/2
temos, por regra do quociente ou pela regra do produto,
f''(x) =-x+124,x^5/2
Em x=4:
f''(4) =-4+124cdot 4^5/2 =84cdot 32 >0
Como f''(4)>0, pelo critério da segunda derivada concluímos que x=4 é um ponto de mínimo local.

Passo 4

Não há outros pontos críticos e, como limxto0^+f(x)=+infty e limxto+inftyf(x)=+infty, não surgem máximos relativos.

Resposta

A função tem um único extremo relativo: mínimo em
x=4, f(4)=4+4raiz4=4

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