Calcule as integrais:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a questão pede é calcular a integral definida de 0 até a da função 1(a^2+x^2)^32 em relação a x. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções racionais e potências, e vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com esse tipo de expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos (a^2 + x^2)^32, que é o mesmo que (a^2 + x^2)^1.5. Sabemos que integrar expressões desse tipo geralmente envolve usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer uma forma padrão de integral.

Passo 3

Vamos usar uma substituição para facilitar a integração. Definimos:
u = x
du = dx
Isso não muda muito a expressão, mas nos ajuda a focar na parte do denominador:
(a^2 + u^2)^32

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral integral du(a^2 + u^2)^32 tem uma forma padrão cuja antiderivada é conhecida. A antiderivada dessa função é:
ua^2 raiza^2 + u^2

Passo 5

Vamos aplicar os limites de integração de 0 a a na antiderivada encontrada:
ua^2 raiza^2 + u^2 |0^a
Primeiro, substituímos u = a:
aa^2 raiza^2 + a^2 = aa^2 raiz2a^2 = aa^2 cdot a raiz2 = 1a raiz2
Depois, substituímos u = 0:
0a^2 raiza^2 + 0 = 0

Resposta

A integral integral0^a d x(a^2+x^2)^32 é igual a 1a raiz2.

Exercícios relacionados