Calcule as integrais:
integral2^3 d x(x^2-1)^32;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral2^3 dxl(x^2-1r)^32
O conteúdo envolve técnicas de integração, em particular substituição trigonométrica para expressões da forma raizx^2-1.

Passo 2

Escolhemos a substituição
x=sectheta,
pois sec^2theta-1=tan^2theta. Assim
dx=secthetatantheta,dtheta, x^2-1=tan^2theta, (x^2-1)^32=tan^3theta
Substituindo na integral obtemos
integral dx(x^2-1)^32 =integral sectheta,tantheta,dthetatan^3theta =integral secthetatan^2theta,dtheta

Passo 3

Usando tan^2theta=sin^2thetacos^2theta e sectheta=1costheta,
secthetatan^2theta =1/costhetasin^2theta/cos^2theta =costhetasin^2theta =cscthetacottheta
Logo a integral vira
integral cscthetacottheta,dtheta =-csctheta + C

Passo 4

Voltando à variável x: de x=sectheta segue
sintheta=raizx^2-1x, csctheta=xraizx^2-1
Portanto uma primitiva é
-csctheta =-xraizx^2-1

Passo 5

Avaliaremos de 2 a 3:
integral2^3dx(x^2-1)^32 =[-xraizx^2-1]2^3 =l(-3raiz8r)-l(-2raiz3r) =2raiz3-32raiz2
Para simplificar, note que
2raiz3=2raiz33 e 32raiz2=3raiz24,
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2raiz3-32raiz2 =8raiz3-9raiz212

Resposta

8raiz3-9raiz212

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