Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
x^2 y^prime+2 x y=cos x, y(pi)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^2y' + 2x,y = cos x
com condição inicial y(pi)=0. Este é um problema de equação linear de primeira ordem, pois podemos escrevê-la na forma
y' + p(x),y = q(x)
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x^2 (assumindo xneq0) obtemos a forma padrão
y' + 2xy = cos xx^2
Aqui identificamos
p(x)=2x, q(x)=cos xx^2

Passo 3

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = expl(2ln|x|r) = x^2

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=x^2 volta-se à forma
x^2y' + 2x,y = cos x,
que é equivalente a
ddxl(x^2yr) = cos x

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x, temos
x^2y = integral cos x,dx = sin x + C,
onde C é constante de integração. Dessa forma, a solução geral é
y = sin x + Cx^2

Passo 6

Para determinar C, usamos a condição inicial y(pi)=0:
0 = sinpi + Cpi^2 = 0 + Cpi^2,
logo C=0. Portanto a solução particular que satisfaz y(pi)=0 é
y(x) = sin xx^2

Resposta

y(x) = sin xx^2

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