Dizemos que um campo vetorial é irrotacional se, e somente se, seu rotacional é nulo.
Verifique se os campos abaixo são irrotacionais.
(a) F(x, y)=(x+y) i+(x-y) j;
(b) F(x, y)=f(x) i+g(y) j, onde f e g são funções reais de uma variável real.

Passo 1

O enunciado pede verificar se os campos vetoriais são irrotacionais, isto é, se o rotacional de cada um é nulo. O conteúdo aqui é cálculo vetorial no plano e uso da definição de rotacional em duas dimensões.

Passo 2

Para um campo 2D F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j, seu rotacional (componente em k) é dado por
(nabla times F)k ;=; partial Qpartial x ;-; partial Ppartial y

Passo 3

Para F(x,y)=(x+y),i+(x-y),j temos
P(x,y)=x+y, Q(x,y)=x-y
Calculando
partial Qpartial x=1, partial Ppartial y=1,
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(nabla times F)k = 1 - 1 = 0
Assim o campo do item (a) é irrotacional em todo R^2.

Passo 4

Para F(x,y)=f(x),i+g(y),j temos
P(x,y)=f(x), Q(x,y)=g(y)
Então
partial Qpartial x=0, partial Ppartial y=0,
e
(nabla times F)k = 0 - 0 = 0
Logo o campo do item (b) também é irrotacional em seu domínio.

Resposta

(a) O campo é irrotacional.
(b) O campo é irrotacional.

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