Encontre as dimensões do cilindro de volume máximo inscrito em um cone de altura H e raio R.
12. Dada
, encontre:
- Pontos críticos.
- Intervalos de crescimento/decrescimento.
- Concavidade e pontos de inflexão.
12. Dada
Passo 1
Neste problema temos um cone de altura
e raio da base
. Queremos inscrever nele um cilindro de raio
e altura
que maximize o volume. Vamos usar:
- A fórmula do volume do cilindro:
- A semelhança de triângulos entre a geratriz do cone e o cilindro para relacionar
e .
Passo 2
Pela semelhança de triângulos, o raio do cilindro
e sua altura
satisfazem
Substituindo em
, obtemos
Passo 3
Para achar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
As soluções são
(desprezível) e
Passo 4
O valor
de fato dá máximo (verificando o sinal de
muda de positivo para negativo). A altura correspondente vale
Passo 5
Agora considerei
. Vamos encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade e pontos de inflexão.
Passo 6
Calculamos a derivada primeira:
Para pontos críticos, resolvemos
O sinal de
: como é parábola aberta para cima, temos
-
em e em , -
em .
Passo 7
Derivamos novamente para concavidade:
O ponto onde muda o sinal de
é dado por
Assim,
-
em (concavidade para baixo), -
em (concavidade para cima),
eé ponto de inflexão.
Resposta
Pontos críticos:
Crescimento: .
Decrescimento: .
Concavidade para baixo: .
Concavidade para cima: .
Ponto de inflexão:
Crescimento:
Decrescimento:
Concavidade para baixo:
Concavidade para cima:
Ponto de inflexão: