Encontre as dimensões do cilindro de volume máximo inscrito em um cone de altura H e raio R.
12. Dada f(x)=x^33-5 x^22+6 x, encontre:
  • Pontos críticos.
  • Intervalos de crescimento/decrescimento.
  • Concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

Neste problema temos um cone de altura H e raio da base R. Queremos inscrever nele um cilindro de raio r e altura h que maximize o volume. Vamos usar:
  • A fórmula do volume do cilindro:
V = pi r^2 h
  • A semelhança de triângulos entre a geratriz do cone e o cilindro para relacionar r e h.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos, o raio do cilindro r e sua altura h satisfazem
rR ;=;H - hH Longrightarrow h ;=; Hl(1 - rRr)
Substituindo em V=pi r^2h, obtemos
V(r) ;=; pi r^2 ;Hl(1 - rRr) ;=; pi Hl(r^2 - r^3Rr)

Passo 3

Para achar o máximo, derivamos V(r) em relação a r e igualamos a zero:
V'(r) =pi Hl(2r - 3r^2Rr) =pi H,rl(2 - 3rRr) ;=;0
As soluções são r=0 (desprezível) e
2 - 3rR=0 ;Longrightarrow; r = 2R3

Passo 4

O valor r=tfrac2R3 de fato dá máximo (verificando o sinal de V' muda de positivo para negativo). A altura correspondente vale
h = Hl(1 - 2R/3Rr) = Hl(1 - tfrac23r) = H3

Passo 5

Agora considerei f(x)=x^33-5x^22+6x. Vamos encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade e pontos de inflexão.

Passo 6

Calculamos a derivada primeira:
f'(x) =ddxl(tfracx^33r) -ddxl(tfrac5x^22r) +ddx(6x) = x^2 - 5x + 6
Para pontos críticos, resolvemos
x^2 - 5x + 6 = 0 ;Longrightarrow; (x-2)(x-3)=0 ;Longrightarrow; x=2,;x=3
O sinal de f'(x): como é parábola aberta para cima, temos
  • f'(x)>0 em (-infty,2) e em (3,infty),
  • f'(x)<0 em (2,3).

Passo 7

Derivamos novamente para concavidade:
f''(x) =ddx(x^2 - 5x + 6) =2x - 5
O ponto onde muda o sinal de f'' é dado por
2x - 5 = 0 ;Longrightarrow; x = 52
Assim,
  • f''(x)<0 em l(-infty,tfrac52r) (concavidade para baixo),
  • f''(x)>0 em l(tfrac52,inftyr) (concavidade para cima),
    e x=tfrac52 é ponto de inflexão.

Resposta

Pontos críticos: x=2,3
Crescimento: (-infty,2)cup(3,infty).
Decrescimento: (2,3).
Concavidade para baixo: l(-infty,tfrac52r).
Concavidade para cima: l(tfrac52,inftyr).
Ponto de inflexão: x=tfrac52

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