Calcule as integrais
integral0^pi / 2 integral0^pi / 2 sen x cos y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral0^pi / 2 integral0^pi / 2 sin x cos y , dy , dx. Estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é integral0^pi / 2 cos y , dy. Essa é uma integração simples de uma função trigonométrica. A integral de cos y em relação a y é sin y. Então, calculamos:
integral0^pi / 2 cos y , dy = sin y |0^pi / 2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Passo 3

Agora que sabemos que a integral interna vale 1, substituímos de volta na integral dupla. Ficamos com:
integral0^pi / 2 sin x cdot 1 , dx = integral0^pi / 2 sin x , dx

Passo 4

Vamos resolver agora essa integral integral0^pi / 2 sin x , dx. A integral de sin x em relação a x é -cos x. Aplicando os limites de integração:
-cos x |0^pi / 2 = -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1

Resposta

O valor da integral dupla é 1.

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