Considere o circuito elétrico RC com um resistor de resistência
(em
) e um capacitor de capacitância
(em F). A carga no capacitor
é descrita pela equação:
onde
é a carga máxima (C),
é o tempo (s), e
e
são constantes do circuito.
Deseja-se determinar o tempo
necessário para que a carga no capacitor atinja
de sua carga máxima, ou seja, encontrar
tal que:
Utilize os métodos da bisseção e de Newton para resolver o problema, assumindo
e
.
Considere a fórmula iterativa:
com
.
Utilize como aproximação inicial
.
Avalie a ordem de convergência
do método de Newton com a fórmula:
considerando
o valor exato do tempo.
Deseja-se determinar o tempo
Considere a fórmula iterativa:
Utilize como aproximação inicial
Avalie a ordem de convergência
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um circuito RC, que é basicamente um resistor e um capacitor juntos. A gente quer descobrir quanto tempo, vamos chamar de
, leva para a carga no capacitor chegar a 90% da carga máxima que ele pode ter. Para isso, vamos usar dois métodos de resolução: o método da bisseção e o método de Newton. A gente vai precisar entender um pouco de equações exponenciais e métodos numéricos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método da bisseção. Esse método é uma forma de encontrar raízes de uma função dividindo um intervalo em partes menores. A gente quer resolver a equação:
Simplificando, temos:
Queremos encontrar o
que satisfaz essa equação. No método da bisseção, a gente escolhe dois valores iniciais
e
onde a função muda de sinal. Sabemos que quando
,
e quando
aumenta,
se aproxima de
. Vamos escolher
e
segundos.
- Calculamos o ponto médio:
s. - Avaliamos
. - Como
, ajustamos . - Repetimos esse processo até encontrar
com a precisão desejada.
Após algumas iterações, a gente aproxima
para cerca de 2.3 segundos.
Passo 3
Agora, vamos usar o método de Newton. Esse método utiliza derivadas para encontrar raízes de forma mais eficiente. A fórmula iterativa é:
Onde a derivada
é:
Dado que
e
, temos
s. A gente começa com uma aproximação inicial
s.
- Calculamos
. - Calculamos
. - Atualizamos
s. - Repetimos o processo com
para obter , e assim por diante.
Após algumas iterações, o método de Newton converge para 2.3 segundos, bem rapidinho!
Passo 4
Por último, vamos avaliar a ordem de convergência
do método de Newton. A fórmula para isso é:
Onde
é o valor exato de
, que aqui é aproximadamente 2.3 segundos. Usando os valores obtidos nas iterações anteriores, a gente vê que
se aproxima de 2, o que indica que o método tem convergência quadrática, ou seja, é bem eficiente.
Resposta
O tempo necessário para que a carga no capacitor atinja 90% da carga máxima é aproximadamente 2,3 segundos.