Considere o circuito elétrico RC com um resistor de resistência R (em Omega) e um capacitor de capacitância C (em F). A carga no capacitor q(t) é descrita pela equação:
q(t)=Q(1-e^-t /(R C))
onde Q é a carga máxima (C), t é o tempo (s), e R e C são constantes do circuito.
Deseja-se determinar o tempo t necessário para que a carga no capacitor atinja 90% de sua carga máxima, ou seja, encontrar t tal que:
f(t)=Q(1-e^-t /(R C))-0.9 Q=0
Utilize os métodos da bisseção e de Newton para resolver o problema, assumindo R=1000 Omega e C=0.001 F.
Considere a fórmula iterativa:
tn+1=tn-f(tn)f^prime(tn)
com f^prime(t)=QR C e^-t /(R C).
Utilize como aproximação inicial t0=0.5.
Avalie a ordem de convergência p do método de Newton com a fórmula:
p approx ln (|tn+1-alpha||tn-alpha|)ln (|tn-alpha||tn-1-alpha|)
considerando alpha o valor exato do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um circuito RC, que é basicamente um resistor e um capacitor juntos. A gente quer descobrir quanto tempo, vamos chamar de t , leva para a carga no capacitor chegar a 90% da carga máxima que ele pode ter. Para isso, vamos usar dois métodos de resolução: o método da bisseção e o método de Newton. A gente vai precisar entender um pouco de equações exponenciais e métodos numéricos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método da bisseção. Esse método é uma forma de encontrar raízes de uma função dividindo um intervalo em partes menores. A gente quer resolver a equação:
f(t) = Q(1 - e^-t) - 0.9Q = 0
Simplificando, temos:
1 - e^-t = 0.9 Rightarrow e^-t = 0.1
Queremos encontrar o t que satisfaz essa equação. No método da bisseção, a gente escolhe dois valores iniciais a e b onde a função muda de sinal. Sabemos que quando t = 0 , f(0) = 0 e quando t aumenta, f(t) se aproxima de 0.1 . Vamos escolher a = 0 e b = 5 segundos.
  1. Calculamos o ponto médio: m = a + b2 = 2.5 s.
  2. Avaliamos f(m) = 1 - e^-2.5 approx 1 - 0.0821 = 0.9179 .
  3. Como f(m) > 0.9 , ajustamos b = 2.5 .
  4. Repetimos esse processo até encontrar t com a precisão desejada.
Após algumas iterações, a gente aproxima t para cerca de 2.3 segundos.

Passo 3

Agora, vamos usar o método de Newton. Esse método utiliza derivadas para encontrar raízes de forma mais eficiente. A fórmula iterativa é:
tn+1 = tn - f(tn)f'(tn)
Onde a derivada f'(t) é:
f'(t) = QRC e^-t
Dado que R = 1000 , Omega e C = 0.001 , F , temos RC = 1 s. A gente começa com uma aproximação inicial t0 = 0.5 s.
  1. Calculamos f(t0) = 1 - e^-0.5 - 0.9 approx 1 - 0.6065 - 0.9 = -0.5065 .
  2. Calculamos f'(t0) = e^-0.5 approx 0.6065 .
  3. Atualizamos t1 = 0.5 - -0.50650.6065 approx 0.5 + 0.835 = 1.335 s.
  4. Repetimos o processo com t1 para obter t2 , e assim por diante.
Após algumas iterações, o método de Newton converge para 2.3 segundos, bem rapidinho!

Passo 4

Por último, vamos avaliar a ordem de convergência p do método de Newton. A fórmula para isso é:
p approx ln(|tn+1 - alpha||tn - alpha|)ln(|tn - alpha||tn-1 - alpha|)
Onde alpha é o valor exato de t , que aqui é aproximadamente 2.3 segundos. Usando os valores obtidos nas iterações anteriores, a gente vê que p se aproxima de 2, o que indica que o método tem convergência quadrática, ou seja, é bem eficiente.

Resposta

O tempo necessário para que a carga no capacitor atinja 90% da carga máxima é aproximadamente 2,3 segundos.

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