Calcule as integrais:
integral raiz3 t^3-1 4 t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral integral raiz3 t^3-1 cdot 4 t^2 , dt. A gente vai precisar usar o método de substituição, que é uma técnica de cálculo usada para simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhando para a expressão dentro da raiz, 3t^3 - 1, parece um bom candidato. Então, vamos definir:
u = 3t^3 - 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t, ou seja, du/dt, para fazer a substituição completa. Calculando:
dudt = 9t^2
Isso significa que:
du = 9t^2 , dt

Passo 4

A nossa integral original tem 4t^2 , dt, então vamos expressar isso em termos de du:
4t^2 , dt = 49 , du

Passo 5

Substituindo u e du na integral, a expressão fica bem mais simples:
integral raizu cdot 49 , du = 49 integral u^1/2 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^1/2. A regra da potência para integrais diz que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
integral u^1/2 , du = u^3/23/2 + C = 23 u^3/2 + C

Passo 7

Multiplicando pelo fator 49 que tiramos antes:
49 cdot 23 u^3/2 + C = 827 u^3/2 + C

Passo 8

Por fim, vamos substituir u de volta para a expressão original em termos de t:
u = 3t^3 - 1
Portanto:
827 (3t^3 - 1)^3/2 + C

Resposta

A integral é igual a 827 (3 t^3 - 1)^32 + C, onde C é a constante de integração.

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