Calcule as integrais:
integral0^pi x cdot sen 5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^pi x cdot sin(5x) , dx. Aqui, vamos usar o conteúdo de Integração por Partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da função vamos diferenciar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv. Geralmente, escolhemos u como a função que se simplifica quando diferenciada e dv como a parte que podemos integrar facilmente.
Vamos escolher:
  • u = x (porque ao derivar, du = dx simplifica)
  • dv = sin(5x) , dx (pois podemos integrar facilmente sin(5x))

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
du = ddx(x) , dx = 1 , dx
Para encontrar v, integramos dv:
v = integral sin(5x) , dx = -15 cos(5x)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cdot sin(5x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-15 cos(5x)) - integral (-15 cos(5x)) cdot 1 , dx
Simplificando:
= -x5 cos(5x) + 15 integral cos(5x) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cos(5x):
integral cos(5x) , dx = 15 sin(5x)
Substituindo de volta:
= -x5 cos(5x) + 15 cdot 15 sin(5x) + C
= -x5 cos(5x) + 125 sin(5x) + C

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a pi:
[ -x5 cos(5x) + 125 sin(5x) ]0^pi
Calculando em pi:
- pi5 cos(5pi) + 125 sin(5pi)
Sabemos que cos(5pi) = cos(pi) = -1 e sin(5pi) = 0, então:
- pi5 (-1) + 125 cdot 0 = pi5
Calculando em 0:
- 05 cos(0) + 125 sin(0) = 0 + 0 = 0

Resposta

A integral integral0^pi x cdot sin(5x) , dx vale pi5.

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