Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, vamos usar o conteúdo de Integração por Partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da função vamos diferenciar e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a função que se simplifica quando diferenciada e
como a parte que podemos integrar facilmente.
Vamos escolher:
-
(porque ao derivar, simplifica) -
(pois podemos integrar facilmente )
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Para encontrar
, integramos
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Calculando em
:
Sabemos que
e
, então:
Calculando em
:
Resposta
A integral
vale
.