Determine y^prime
y=e^-x^22 cos (x);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
y = e^-x^22cos(x)
O conteúdo envolvido é a aplicação da regra do produto (pois y é produto de duas funções) e da regra da cadeia (para derivar o exponencial).

Passo 2

Identificamos duas funções:
u(x)=e^-x^22 e v(x)=cos(x).
Pela regra do produto,
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia. Seja w(x)=-tfracx^22, então u(x)=e^w(x) e
w'(x) = -x
Logo,
u'(x) = e^w(x)cdot w'(x) = e^-x^22cdot(-x) = -x,e^-x^22

Passo 4

Agora v'(x) é a derivada de cos(x), ou seja,
v'(x) = -sin(x)
Substituindo em
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x), temos
y' = l(-x,e^-x^22r)cos(x) + e^-x^22l(-sin(x)r)

Passo 5

Fatorando e^-x^22 e o sinal negativo em comum,
y' = -e^-x^22l(xcos(x) + sin(x)r)

Resposta

y' = -e^-x^22l(xcos(x) + sin(x)r)

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