Calcule as integrais:
integral0^pi4 sen xcos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de sin xcos^2 x no intervalo de 0 a pi4 . Para isso, vamos usar umas técnicas básicas de cálculo de integrais, especificamente a substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que está dentro da integral: sin xcos^2 x . A ideia é encontrar uma substituição que deixe essa expressão mais fácil de integrar. Vamos escolher u = cos x como nossa substituição.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du :
du = -sin x , dx
Isso significa que:
-du = sin x , dx
Vamos guardar essa relação para substituir na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral sin xcos^2 x , dx = integral -duu^2
Simplificando a expressão:
-integral u^-2 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-2 :
-integral u^-2 , du = -( u^-1-1 ) + C = 1u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando para a variável original, lembrando que u = cos x :
1u = 1cos x = sec x
Então, a antiderivada é sec x + C .

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi4 :
[ sec x ]0^pi4 = sec ( pi4 ) - sec(0)
Sabemos que:
sec ( pi4 ) = raiz2
E:
sec(0) = 1

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
raiz2 - 1

Exercícios relacionados