Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar umas técnicas básicas de cálculo de integrais, especificamente a substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que está dentro da integral:
. A ideia é encontrar uma substituição que deixe essa expressão mais fácil de integrar. Vamos escolher
como nossa substituição.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Vamos guardar essa relação para substituir na integral.
Passo 4
Substituindo na integral original:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando para a variável original, lembrando que
:
Então, a antiderivada é
.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Sabemos que:
E:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: