Encontre a área da região delimitada pelos gráficos de y=x^2 e y-2 x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre os gráficos das funções y = x^2 e y = 2x . Isso envolve calcular a área entre duas curvas, um assunto que a gente resolve usando integrais no cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber onde essas duas curvas se encontram. Isso significa encontrar os valores de x onde y = x^2 é igual a y = 2x . Então, vamos igualar as duas equações:
x^2 = 2x

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para achar os pontos de interseção:
x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0
Isso nos dá duas soluções: x = 0 e x = 2 . Então, as curvas se cruzam nos pontos x = 0 e x = 2 .

Passo 4

Sabendo onde elas se encontram, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo de x = 0 a x = 2 . Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, x = 1 :
y = x^2 = 1^2 = 1 y = 2x = 2 times 1 = 2
Como 2 > 1 , a função y = 2x está acima de y = x^2 nesse intervalo.

Passo 5

Agora, para encontrar a área entre essas curvas, usamos a seguinte fórmula de integral:
Área = integrala^b (função de cima - função de baixo) , dx Áçãçã
No nosso caso, a = 0 , b = 2 , a função de cima é y = 2x e a de baixo é y = x^2 . Então, temos:
Área = integral0^2 (2x - x^2) , dx Á

Passo 6

Vamos calcular essa integral passo a passo:
integral (2x - x^2) , dx = integral 2x , dx - integral x^2 , dx = x^2 - x^33 + C
Como estamos calculando uma área definida, não precisamos da constante C . Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 2 :
[ (2)^2 - (2)^33 ] - [ (0)^2 - (0)^33 ] = [ 4 - 83 ] - [0 - 0] = 4 - 83

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
4 - 83 = 123 - 83 = 43

Resposta

A área da região delimitada pelos gráficos de y = x^2 e y = 2x é 43 unidades de área.

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