Resolva as questões abaixo.
Dada a função
, calcule:
.
Dada a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou está relacionado a Cálculo Diferencial, mais especificamente ao cálculo de derivadas parciais. A gente tem uma função de três variáveis,
, e o que precisamos fazer é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
. Derivadas parciais nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, precisamos aplicar as regras de derivação para funções de múltiplas variáveis.
A função é:
Primeiro, percebemos que existem duas partes na função:
e
. Vamos derivar cada parte em relação a
separadamente.
Para a primeira parte,
, podemos reescrever como
. A derivada de
em relação a
usa a regra do produto:
Então, a derivada parcial da primeira parte é:
Para a segunda parte,
, como
é tratado como uma constante em relação a
, a derivada em relação a
é:
Portanto, juntando as duas partes, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, vamos derivar cada parte da função separadamente.
A função é:
Para a primeira parte,
, como não há
, a derivada em relação a
é zero:
Para a segunda parte,
, aplicamos a regra do produto. Considerando
e
como constantes, temos:
Portanto, a derivada parcial total em relação a
é:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e