Resolva as questões abaixo.
Dada a função f(x, y, z)=xe^x y^3+z cdot e^x z, calcule: partial f(x, y, z)partial x e partial f(x, y, z)partial z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou está relacionado a Cálculo Diferencial, mais especificamente ao cálculo de derivadas parciais. A gente tem uma função de três variáveis, f(x, y, z) = xe^x y^3 + z cdot e^x z, e o que precisamos fazer é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a x e a z. Derivadas parciais nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, partial fpartial x. Para isso, precisamos aplicar as regras de derivação para funções de múltiplas variáveis.
A função é:
f(x, y, z) = xe^x y^3 + z cdot e^x z
Primeiro, percebemos que existem duas partes na função: xe^x y^3 e z cdot e^x z. Vamos derivar cada parte em relação a x separadamente.
Para a primeira parte, xe^x y^3, podemos reescrever como x e^-x y^3. A derivada de x e^-x em relação a x usa a regra do produto:
ddx(x e^-x) = e^-x + x (-e^-x) = e^-x - x e^-x = e^-x(1 - x)
Então, a derivada parcial da primeira parte é:
partialpartial x ( xe^x y^3 ) = e^-x(1 - x) y^3
Para a segunda parte, z cdot e^x z, como z é tratado como uma constante em relação a x, a derivada em relação a x é:
partialpartial x ( z cdot e^x z ) = z cdot e^x z cdot z = z^2 e^x z
Portanto, juntando as duas partes, temos:
partial fpartial x = e^-x(1 - x) y^3 + z^2 e^x z

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a z, ou seja, partial fpartial z. Novamente, vamos derivar cada parte da função separadamente.
A função é:
f(x, y, z) = xe^x y^3 + z cdot e^x z
Para a primeira parte, xe^x y^3, como não há z, a derivada em relação a z é zero:
partialpartial z ( xe^x y^3 ) = 0
Para a segunda parte, z cdot e^x z, aplicamos a regra do produto. Considerando x e y como constantes, temos:
partialpartial z ( z cdot e^x z ) = e^x z + z cdot e^x z cdot x = e^x z (1 + x z)
Portanto, a derivada parcial total em relação a z é:
partial fpartial z = e^x z (1 + x z)

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y, z) são:
partial fpartial x = e^-x(1 - x) y^3 + z^2 e^x z
e
partial fpartial z = e^x z (1 + x z)

Exercícios relacionados