Seja alpha: I longrightarrow R^3 uma curva regular, de curvatura não nula. Então, alpha é uma curva plana se , e somente se, tem torção nula.

Passo 1

O enunciado considera uma curva regular alphacolon ItoR^3 com curvatura kappa(t)neq0 em todo t. Queremos mostrar a equivalência entre:
  1. alpha é plana (isto é, sua imagem fica contida em algum plano fixo de R^3).
  2. A torção tau(t) de alpha é identicamente nula.
    Para isso vamos usar o sistema de Frenet–Serret T,N,B e as fórmulas
T'=kappa,N, N'=-kappa,T+tau,B, B'=-tau,N

Passo 2

Suponha que alpha seja plana, ou seja, exista um vetor fixo unitário v tal que lang<= alpha(t),vrang<= = c para toda t. Diferenciando,
ddtlang<= alpha(t),vrang<= =lang<= T(t),vrang<==0,
logo vperp T(t) para todo t. Diferenciando de novo,
0=ddtlang<= T(t),vrang<= =lang<= T'(t),vrang<= =lang<= kappa(t),N(t),vrang<= ;Longrightarrow;vperp N(t)
Assim v é ortogonal a T e a N, portanto v é paralelo a B. Como v é constante, concluímos B'(t)=0. Mas pela fórmula de Frenet–Serret
B'(t)=-tau(t),N(t),
segue tau(t)=0 para todo t.

Passo 3

Agora suponha tau(t)=0 em todo I. Da fórmula B'=-tau,N vem B'(t)=0, ou seja, B é constante. Seja então v=B. Como v é unitário e fixo, temos
lang<= alpha'(t),vrang<==lang<= T(t),vrang<==0
para todo t, pois Bperp T. Integrando essa igualdade sobre t, obtemos
lang<= alpha(t),vrang<= = constante
Isto mostra que alpha(t) permanece sempre no plano perpendicular a v, logo alpha é plana.

Resposta

Portanto, demonstramos que alpha é plana se, e somente se, tau(t)equiv0.

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