Seja
uma curva regular, de curvatura não nula. Então,
é uma curva plana se , e somente se, tem torção nula.
Passo 1
O enunciado considera uma curva regular
com curvatura
em todo
. Queremos mostrar a equivalência entre:
-
é plana (isto é, sua imagem fica contida em algum plano fixo de ). - A torção
de é identicamente nula.
Para isso vamos usar o sistema de Frenet–Serrete as fórmulas
Passo 2
Suponha que
seja plana, ou seja, exista um vetor fixo unitário
tal que
para toda
. Diferenciando,
logo
para todo
. Diferenciando de novo,
Assim
é ortogonal a
e a
, portanto
é paralelo a
. Como
é constante, concluímos
. Mas pela fórmula de Frenet–Serret
segue
para todo
.
Passo 3
Agora suponha
em todo
. Da fórmula
vem
, ou seja,
é constante. Seja então
. Como
é unitário e fixo, temos
para todo
, pois
. Integrando essa igualdade sobre
, obtemos
Isto mostra que
permanece sempre no plano perpendicular a
, logo
é plana.
Resposta
Portanto, demonstramos que
é plana se, e somente se,
.