Calcule as integrais.
integral1^5 y^3 raiz2 y^4-1 d y

Passo 1

Resumo da questão: precisamos calcular a integral definida de y^3 raiz2 y^4-1 em relação a y , no intervalo de 1 a 5. Vamos usar técnicas de substituição para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão para substituir por uma nova variável. Observamos que dentro da raiz temos 2 y^4 - 1 . Vamos definir:
u = 2 y^4 - 1

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a y para encontrar du :
dudy = 8 y^3
Então,
du = 8 y^3 dy

Passo 4

Queremos expressar y^3 dy em termos de du . Dividindo ambos os lados por 8:
y^3 dy = du8

Passo 5

Substituindo u e y^3 dy na integral original:
integral1^5 y^3 raiz2 y^4-1 dy = integral raizu cdot du8 = 18 integral u^1/2 du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^1/2 em relação a u :
integral u^1/2 du = 23 u^3/2 + C
Então,
18 integral u^1/2 du = 18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C

Passo 7

Voltando para a variável original y , substituímos u por 2 y^4 -1 :
112 (2 y^4 -1)^3/2 + C

Passo 8

Agora, aplicando os limites de integração de 1 a 5:
[ 112 (2 y^4 -1)^3/2 ]1^5 = 112 [ (2 cdot 5^4 -1)^3/2 - (2 cdot 1^4 -1)^3/2 ]
Calculando os valores:
Para y=5 :
2 cdot 5^4 -1 = 2 cdot 625 -1 = 1250 -1 = 1249
Então,
1249^3/2 = 1249 cdot raiz1249
Para y=1 :
2 cdot 1^4 -1 = 2 cdot 1 -1 = 1
Então,
1^3/2 = 1
Portanto,
112 (1249 raiz1249 -1 )

Resposta

A integral definida é igual a 112 (1249 raiz1249 -1 ) .

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