Calcule as integrais.
Passo 1
Resumo da questão: precisamos calcular a integral definida de
em relação a
, no intervalo de 1 a 5. Vamos usar técnicas de substituição para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão para substituir por uma nova variável. Observamos que dentro da raiz temos
. Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Então,
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Dividindo ambos os lados por 8:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Então,
Passo 7
Voltando para a variável original
, substituímos
por
:
Passo 8
Agora, aplicando os limites de integração de 1 a 5:
Calculando os valores:
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Portanto,
Resposta
A integral definida é igual a
.